Un antiguo campo abstracto de las matemáticas está descubriendo la profunda complejidad de las órbitas de las naves espaciales

Puedes crear una gráfica con el ángulo como X-eje y la velocidad como y-eje. Pero como viajar 360 grados te lleva de vuelta al principio, puedes coser las líneas verticales donde X es cero grados y donde X es de 360 ​​grados. Esto forma un cilindro. El cilindro no refleja directamente la realidad física (no muestra los caminos que traza el péndulo), sino que cada punto representa un estado particular del péndulo. El cilindro, junto con las leyes que determinan los caminos que puede seguir el péndulo, forma un espacio simpléctico.

Desde principios del siglo XVII, cuando Johannes Kepler formuló sus leyes, físicos y matemáticos sabían perfectamente cómo describir el movimiento de dos cuerpos sujetos a la gravedad. Dependiendo de qué tan rápido se muevan, sus trayectorias forman una elipse, una parábola o una hipérbola. Los espacios simplécticos correspondientes son más complicados que el de un péndulo, pero aún así manejables. Pero la introducción de un tercer objeto hace que sea imposible calcular soluciones analíticas exactas. Y sólo se vuelve más complicado si agregas más cuerpos al modelo. "Sin esa visión analítica, casi siempre, en algún nivel, estás disparando hacia la oscuridad", dijo Scheeres.

Una nave espacial que puede moverse libremente en cualquier dirección (de derecha a izquierda, de arriba a abajo y de adelante hacia atrás) necesita tres coordenadas para describir su posición y tres más para describir su velocidad. Eso crea un espacio simplético de seis dimensiones. Para describir el movimiento de tres cuerpos, como Júpiter, Europa y una nave espacial, se necesitan 18 dimensiones: seis por cuerpo. La geometría del espacio se define no sólo por la cantidad de dimensiones que tiene, sino también por las curvas que muestran cómo evoluciona en el tiempo el sistema físico que se describe.

Moreno y Koh trabajaron en una versión “restringida” del problema de los tres cuerpos, donde uno de los cuerpos (la nave espacial) es tan pequeño que no tiene impacto sobre los otros dos (Júpiter y Europa). Para simplificar aún más las cosas, los investigadores asumieron que la órbita de la luna era perfectamente circular. Puede tomar su órbita circular como un fondo estable contra el cual considerar la trayectoria de la sonda espacial. El espacio simpléctico sólo tiene que tener en cuenta la posición y la velocidad de la nave espacial, ya que el movimiento de Júpiter y Europa se puede describir fácilmente. Entonces, en lugar de tener 18 dimensiones, el espacio simplético correspondiente es de seis dimensiones. Cuando una trayectoria en este espacio de seis dimensiones forma un bucle, representa una órbita periódica de la nave espacial a través del sistema planeta-luna.

Cuando Koh se puso en contacto con Moreno, sentía curiosidad por los casos en los que agregar sólo una pequeña cantidad de energía hace que la órbita de una nave espacial salte de una familia a otra. Estos puntos de encuentro entre familias de órbitas se denominan puntos de bifurcación. A menudo muchas familias se reúnen en un mismo punto. Esto los hace particularmente útiles para los planificadores de trayectorias. "Comprender la estructura de bifurcación proporciona una hoja de ruta sobre dónde hay trayectorias interesantes que se deben observar", dijo Scheeres. Koh quería saber cómo identificar y predecir puntos de bifurcación.