en un casi En un artículo de 400 páginas publicado en marzo, los matemáticos Mohammed Abouzaid y Andrew Blumberg de la Universidad de Columbia han construido una importante ampliación de uno de los mayores avances en geometría de las últimas décadas. El trabajo sobre el que se basaron se relaciona con una conocida conjetura de la década de 1960 hecha por Vladimir Arnold. Arnold estaba estudiando mecánica clásica y quería saber cuándo las órbitas de los planetas son estables y vuelven a su configuración original después de un período determinado.
El trabajo de Arnold estaba en un área de las matemáticas que se refiere a todas las diferentes configuraciones que puede tomar un sistema físico como bolas de billar que rebotan o planetas en órbita. Estas configuraciones están codificadas en objetos geométricos llamados espacios de fase, que aparecen en un floreciente campo matemático llamado geometría simpléctica.
Arnold predijo que cada espacio de fase de cierto tipo contiene un número mínimo de configuraciones en las que el sistema que describe regresa a donde comenzó. Esto sería como si las bolas de billar ocuparan las mismas posiciones y velocidades que tenían antes. Anticipó que este número mínimo es al menos igual al número de agujeros en el espacio de fase general, que puede tomar la forma de objetos como una esfera (que no tiene agujeros) o una dona (que tiene uno).
La conjetura de Arnold vinculaba dos formas fundamentalmente diferentes de pensar acerca de una forma. Sugirió que los matemáticos podrían obtener información sobre el movimiento de los objetos en una forma dada (reflejada en cuántas configuraciones devuelven el objeto a donde comenzó) en términos de sus propiedades topológicas blandas (cuántos agujeros tiene).
“Por lo general, las cosas simplécticas son más difíciles que las cosas puramente topológicas. Por lo tanto, el principal interés es poder distinguir algo de manera simple a partir de la información topológica”, dijo Ciprian Manolescu, de la Universidad de Stanford.
El primer gran avance en la conjetura de Arnold tuvo lugar décadas más tarde, en la década de 1980, cuando un joven matemático llamado Andreas Floer desarrolló una forma radicalmente nueva de contar agujeros. La teoría de Floer se convirtió rápidamente en una de las herramientas centrales de la geometría simpléctica. Sin embargo, incluso cuando los matemáticos utilizaron las ideas de Floer, imaginaron que debería ser posible trascender su propia teoría, para desarrollar otras teorías a la luz de la nueva perspectiva que abrió Floer.
Finalmente, Abouzaid y Blumberg lo han hecho. En su artículo de marzo, rehacen otra teoría topológica importante en términos de las técnicas para contar agujeros en las que Floer fue pionera. Haciéndose eco del trabajo de Floer, luego usan esta nueva teoría para probar una versión de la conjetura de Arnold. Este primer resultado de prueba de concepto hace que los matemáticos anticipen que eventualmente encontrarán muchos más usos para las ideas de Abouzaid y Blumberg.
“Es un desarrollo muy importante para el campo, tanto en términos del teorema que prueba como de las técnicas que presenta”, dijo Ailsa Keating de la Universidad de Cambridge.
Para tener una idea de cómo se pueden usar las configuraciones de un sistema físico para construir un objeto geométrico, imagina un planeta moviéndose por el espacio.
La posición y el momento del planeta se pueden describir con seis números, tres para cada propiedad. Si representa cada una de las diferentes configuraciones de la posición y el momento del planeta como un punto con seis coordenadas, creará el espacio de fase del sistema. En este caso, tiene la forma de un espacio plano de seis dimensiones. El movimiento de un solo planeta se puede representar como una línea que teje a través de este espacio.
Los espacios de fase pueden adoptar formas muy diferentes. Por ejemplo, la posición de un péndulo oscilante se puede representar como un punto en un círculo y su momento como un punto en una línea. El espacio de fase de un péndulo es un círculo atravesado por una línea, que forma un cilindro.
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